Pages Navigation Menu

HOŞ GELDİNİZ KEYİFLİ ZAMAN GEÇİRECEĞİNİZE EMİN OLUN

GENEL MATEMATİK ALES, DGS, SMMM, VS. VB. SINAVLARA YÖNELİK

GENEL MATEMATİK ALES, DGS, SMMM, VS. VB. SINAVLARA YÖNELİK
34-60-Hakkı ŞENER

34-60-Hakkı ŞENER

GENEL MATEMATİK ALES, DGS, SMMM, VS. VB. SINAVLARA YÖNELİK

 

-TEMEL BİLGİLERDEN OLUŞAN, MATEMETİK KURALLARIYLA İLGİLİ KISA BİLGİLER

SAYI

RAKAMLARIN BİRLİKTE KULLANILMASIYLA OLUŞUR. ÇOKLUKLARI İFADE EDEN SİMGELER TANIMI KISACA YETERLİDİR. HER SAYI BİR RAKAM DEĞİLDİR.

0, 1, e, π, -321, -792 , 8    hepsi birer sayıdır.

                            34    6

RAKAM

GÜNLÜK HAYATTA ONLUK DÜZEN (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) KULLANILIR. RAKAM SAYILARI GÖSTEREN SİMGELER, İŞARETLER, SEMBOLLERDİR. HER RAKAM BİR SAYIDIR.

MATEMETİKSEL İŞLEM ÖNCELİĞİ

BİR İŞLEM YADA SORULARI ÇÖZERKEN

BİRİNCİ OLARAK PARANTEZ İÇİNDEKİ İŞLEMLER

İKİNCİ OLARAK ÇARPMA

ÜÇÜNCÜ OLARAK BÖLME

DÖRDÜNCÜ OLARAK TOPLAMA

BEŞİNCİ OLARAK ÇIKARMA

İŞLEMİ YAPILIR. (SONUÇ İÇİN ÖNEMLİDİR )

DOĞAL SAYILAR

“N” İLE GÖSTERİLİR  SIFIRDAN BAŞLAYIP SONSUZA KADAR GİDEN SAYILARDIR

N={0,1,2,3…..}

TAM SAYI

“Z” İLE GÖSTERİLİR. TAM SAYILAR SIFIR ”0” SAYISI, NEGATİF Z­={…..-3,-2,-1} VE POZİTİF Z+ ={1,2,3…..} TAM SAYILAR, TEK VE ÇİFT TAM SAYILAR OLARAK BEŞ TANEDİR.

TAM SAYILARDA İŞLEMLER

ÇARPMA (TAM SAYILARDA) İŞLEMİ (.)

(-) . (+) =(-) EKSİ İLE ARTININ ÇARPIMI EKSİ 

(+) . (-) =(-) ARTI İLE EKSİNİN ÇARPIMI EKSİ 

(-) .  (-) =(+) EKSİ İLE EKSİNİN ÇARPIMI ARTI

(+) . (+) =(+)ARTI İLE ARTININ ÇARPIMI ARTI

BÖLME (TAM SAYILARDA) İŞLEMİ (:)

  (-)

—— =(-)EKSİ İLE ARTININ BÖLÜMÜ EKSİ 

 (+)

 

  (+)

—— =(-)ARTI İLE EKSİNİN BÖLÜMÜ EKSİ 

  (-)

 

  (-)

—— =(+)EKSİ İLE EKSİNİN BÖLÜMÜ ARTI

  (-)

 

(+)

—— =(+)ARTI İLE ARTININ BÖLÜMÜ ARTI 

  (+)

TOPLAMA (TAM SAYILARDA) İŞLEMİ (+)

SAYILARA AİT İŞARETLER AYNI İSE İŞLEM İŞARETİ(ORTADA OLAN) DİKKATE ALINMAZ SAYILAR TOPLANIR ORTAK İŞARET AYNEN YAZILIR

(+2) + (+2) = (+4)             (+3) – (+3) = (+6) 

(-2)  + (-2)  = (-4)              (-3)  – (-3)  = (-6)

ÇIKARMA (TAM SAYILARDA) İŞLEMİ (-)

SAYILARA AİT İŞARETLER FAKLI İSE İŞLEM İŞARETİ(ORTADA OLAN) DİKKATE ALINMAZ BÜYÜK SAYIDAN KÜÇÜK SAYI ÇIKARILIR, BÜYÜK SAYININ İŞARETİ AYNEN YAZILIR

(-2)   + (+3) = (+1)             (-2)   – (+3) = (+1) 

(+2)  + (-3)  = (-1)              (+2)  – (-3)  = (-1)

TAM SAYI ÇEŞİTLERİ

  1. TEK (TAM) SAYI

SAYILARIN SON RAKAMLARI 1, 3, 5, 7, 9 OLAN SAYILAR TEK TAM SAYI (TEK SAYI) DIR.

N BİR TAM SAYI OLMAK ÜZERE ‘’2n-1’’  ŞEKLİNDE İFADE EDİLİRLER.

  1. ÇİFT (TAM) SAYI

SAYILARIN SON RAKAMLARI 0, 2, 4, 6, 8 OLAN SAYILAR ÇİFT TAM SAYI (ÇİFT SAYI) DIR.

N BİR TAM SAYI OLMAK ÜZERE ‘’2n’’  ŞEKLİNDE İFADE EDİLİRLER.

TEK VE ÇİFT SAYILARLA YAPILAN İŞLEMLERİ ŞU ŞEKİLDE YAZABİLİRİZ. T=TEK SAYI, Ç=ÇİFT SAYI OLSUN.

T + T=Ç,      T – T=Ç,     T + Ç=T,     T – Ç=T

T . T =T,      Ç . T=Ç,      T . Ç=Ç,      Ç . Ç=Ç

   n                n                     n bir pozitif tam sayı olmak üzere

T =  T         Ç =  Ç

ÖNEMLİ NOT:

      BİR BİRİYLE ÇARPILACAK İKİ SAYI;  SAYILAR BİRBİRİNE EN YAKIN SEÇİLDİĞİNDE TOPLAMLARI EN KÜÇÜK DEĞERİ, EN UZAK SEÇİLDİĞİNDE TOPLAMLARI EN BÜYÜK DEĞERİ VERİR. ÖRNEK OLARAK x.y= 10 İSE

 x  .   y = 10    

1      10          EN UZAK 1+10= 11 EN BÜYÜK DEĞER

2        5          EN YAKIN 2.2=4  EN KÜÇÜK DEĞER

10      1

  5      2

     BİR BİRİYLE TOPLANACAK  İKİ SAYI;  SAYILAR BİRBİRİNE EN YAKIN SEÇİLDİĞİNDE ÇARPIMLARI EN BÜYÜK DEĞERİ, EN UZAK SEÇİLDİĞİNDE ÇARPIMLARI EN KÜÇÜK DEĞERİ VERİR. ÖRNEK OLARAK x+y=4 İSE

x  +   y = 4           

0        4          EN UZAK 4.0= 0 EN KÜÇÜK DEĞER

1        3          

2        2          EN YAKIN 2.2=4  EN BÜYÜK DEĞER

3        1

4        0

.3. POZİTİF (TAM) SAYILAR

SIFIR SAYISININ SAĞINDA KALAN YADA SIFIRDAN BÜYÜK SAYILARA (1, 2, 3, 4, 5, 6……) POZİTİF SAYILAR DENİR.

POZİTİF SAYILARIN ÜSSÜ (KUVVETİ) ALINIRSA BÜTÜN ÜSLERİ(KUVVETLERİ) POZİTİF OLUR.

  1. NEGATİF (TAM) SAYILAR

SIFIR SAYISININ SOLUNDA KALAN YADA SIFIRDAN KÜÇÜK SAYILARA (..……-6, -5, -4, -3, -2, -1) NEGATİF SAYILAR DENİR.

POZİTİF SAYILARIN ÜSSÜ (KUVVETİ) ALINIRSA BÜTÜN ÜSLERİ(KUVVETLERİ) POZİTİF OLUR.

  1. SIFIR ‘’0’’ (TAM) SAYISI

SIFIR TAM SAYISINI HİÇ BİR ŞEKİLDE NEGATİF VE YA POZİTİF TAM SAYILAR GURUBUNA DAHİL EDEMEYİZ BU YÜZDEN SIFIR SAYISI KENDİ BAŞINA AYRI BİR TAM SAYI GURUBUDUR. İŞARETİ  (+, -) YOKTUR

RASYONEL SAYILAR                                          

“Q” İLE GÖSTERİLİR.   B≠ 0  VE A, B= Z    

           A—-» PAY

Q ={—— } DİR

          B—-» PAYDA  

RASYONEL SAYILAR GENİŞLETİLEBİLİR YANİ PAY VE PAYDA AYNI SAYILAR İLE ÇARPILIR. ÖRNEĞİMİZDE “ 3 ” İLE GENİŞLETELİM.

1       1.3            3

— » ——  »  —

2    2.3     6 

RASYONEL SAYILAR SADELEŞTİRİLEBİLİR. YANİ PAY VE PAYDA AYNI SAYILAR İLE BÖLÜNÜR. BÖLÜNECEK SAYI PAY VE PAYDAYI TAM BÖLEN ORTAK SAYIDIR. ÖRNEĞİMİZDE BU SAYI “ 2 ” DİR.

4        4:2       2      2:2        1

— » —— » —  »   —— » ——

8    8:2   4      4:2    2

 

RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER

ÇARPMA İŞLEMİ (.)

1       3       1.3        3 PAY İLE PAY

— . — = —— = —             ÇARPILIR

2   3    2.3   6 PAYDA İLE PAYDA  

 

BÖLME İŞLEMİ  (:)

BİRİNCİ KESİR AYNEN YAZILIR, BÖLME İŞARETİ ÇARPMA İŞARETİNE DÖNÜŞÜR. İKİNCİ KESİR TERS ÇEVRİLEREK İŞLEM (ÇARPMA) YAPILIR.

1       2       1        4      1.4      4

— : — = — . — = —— = —— BULUNUR.           

2   4    2   2   2.2    4

TOPLAMA (RASYONEL SAYILRDA) İŞLEMİ (+)

RASYONEL SAYILARDA TOPLAMA YAPABİLMEK İÇİN PAYDALAR (ALT) EŞİT OLMALIDIR. BUNUN İÇİN GENİŞLETME İŞLEMİ YAPILIR. PAYDALAR EŞİT İSE ORTAK PAYDA ALINARAK PAYLAR (ÜST) TOPLANIR.

   1         1          1+1          2   

——+ —— = —— = —— BULUNUR.

   2         2            2            2

 

 

   1         3            1            3           4+6         10

——+ —— = —— + —— = —— = —— DİR.                             

  2          4            2            4             8            8

                           (4)         (2)

 

ÇIKARMA (RASYONEL SAYILARDA)İŞLEMİ (+)

RASYONEL SAYILARDA ÇIKARMA YAPABİLMEK İÇİN PAYDALAR (ALT) EŞİT OLMALIDIR. BUNUN İÇİN GENİŞLETME İŞLEMİ YAPILIR. PAYDALAR EŞİT İSE ORTAK PAYDA ALINARAK PAYLAR (ÜST) ÇIKARILIR.

   2           1          2-1          1   

—— – —— = —— = —— BULUNUR.

   3           3            3            3

 

 

   1         3            1            3           4-6         – 2

——- —— = —— – —— = —— = —— DİR.                             

  2          4            2            4             8            8

                           (4)         (2)

İRRASYONEL SAYILAR

ONDALIKLI SAYILARDA VİRGÜLÜN SAĞINDAKİ YADA VİRGÜLDEN SONRAKİ SAYILARIN BELLİ OLMADIĞI SAYILARDIR.Q’ İLE GÖSTERİLİR.

Q’=( e, π, ³√3 ,………)  GİBİ SAYILAR İRARASYONELDİR.

REEL SAYILAR

RASYONEL SAYILAR VE İRRASYONEL SAYILAR KÜMELERİNİN BİRLEŞİMİNDEN OLUŞAN KÜME REEL SAYILAR KÜMESİNİ OLUŞTURUR. REEL SAYILAR KÜMESİ ‘’R’’ HARFİ İLE İFADE EDİLİR.

R= ( e, π, ³√3 , 5π,√3   -5, -89,1,2, 4  ………)  GİBİ

                             2                  16

ARDIŞIK SAYILAR

ART ARDA DEVAM EDEN VE BELİRLİ BİR ORANDA AZALMA VE ARTMA GÖSTEREN SAYILARDIR.

0, 1, 2, 3, 4, 5, ……n     ARDIŞIK DOĞAL SAYILAR

….-5,-3, -1..1, 3, 5……  ARDIŞIK TEK TAM SAYILAR

…-6,-4,-2….2, 4, 6…..  ARDIŞIK ÇİFT TAM SAYILAR

…-3, -2, -1.. 1, 2, 3,….  ARDIŞIK TAM SAYILAR

DIR.

ARDIŞIK SAYILARIN TOPLAMLARI, VEYA SONLU TOPLAMLARI

BU İŞLEM BELLİ ORANDA ARTARAK DEVAM EDEN SAYI DİZİSİNİN TOPLAMINI VEYA BU SAYI DİZİSİNDE BULUNAN TERİM (SAYI) SAYISININ KAÇ TANE OLDUĞUNU BULMAK İŞLEMİDİR. KARIŞIK GİBİ GÖRÜNSEDE BASİT FORMÜLLERİN VE KONUNUN KAVRANMASI FAYDALI OLACAKTIR.

n ARDIŞIK SAYILARDA TERİM SAYISI OLSUN.

2+4+6+8+…….+(2n) = n.(n+1)  ARDIŞIK ÇİFT SAYILARIN TOPLAMINI VERİR.

1+3+5+7+9+……+(2n-1) = n²  ARDIŞIK TEK SAYILARIN TOPLAMINI VERİR.

1+2+3+4+5……..+n = n.(n+1)      ARDIŞIK    

                                             2

 SAYILARIN TOPLAMINI VERİR.

ARDIŞIK SAYILARIN (HERHANGİBİR SAYI DİZİSİNİN) TERİM SAYISINI  VE TERİM TOPLAMINI BULMAK İÇİN AŞAĞIDAKİ FORMÜLLERİ KULLANIRIZ.

                               SON TERİM – İLK TERİM

TERİM SAYISI= —————————————— +1

                                     ARTIŞ MİKTARI

 

                                 SON TERİM +  İLK TERİM

TERİM TOPLAMI= ————————————— .TE

                                                      2

RİM SAYISI     

ASAL SAYILAR

BİRDEN VE KENDİSİNDEN BAŞKA BİR SAYIYA BÖLÜNEMEYEN BİRDEN BÜYÜK SAYILARDIR.

2, 3, 5, 7, 11, 13,……….. ASAL SAYILARDIR. EN KÜÇÜK ASAL SAYI 2’ DİR. 2’ DEN BAŞKA ÇİFT ASAL SAYI YOKTUR.

BİR DEN BAŞKA ORTAK BÖLENİ OLMAYAN SAYILAR ARALARINDA ASAL SAYILARDIR. ARDIŞIK SAYILAR ARALARINDA ASAL SAYILARDIR.

BİR KESİRLİ SAYIDA PAY VE PAYDA ARALARINDA ASAL SAYI İSE, BU KESİRLİ SAYIYA EŞİTLENEN VE PAY VE PAYDASI SADELEŞTİRİLEMEYEN KESİRLİ SAYILARDA PAYLAR VE PAYDALAR BİR BİRİNE EŞİTTİR.

ÖRNEĞİN A, B ARALARINDA ASAL,   X, Y SADELEŞMEZ SAYILAR OLSUN.

                   A = X  İSE A=X VE B=Y  DİR.     

                   B    Y

ÜSLÜ SAYILAR

BİR SAYININ HER HANGİ BİR KUVVETİNİ, ÜSSÜNÜ ALMAK DEMEK  O SAYIYI O KUVVET, O ÜS SAYISI KADAR YAN YANA YAZIP ÇARPMAK DEMEKTİR. ÖRNEĞİN,

3² = 3.3 = 6

5³ = 5.5.5 = 125 DİR.

ÜSSÜ, KUVVETİ TEK SAYI(1, 3, 5…)OLAN NEGATİF SAYILARIN SONUCUDA NEGATİF OLUR.

-2³ = -2 . -2 . -2 = -8 DİR.

ÜSSÜ, KUVVETİ ÇİFT SAYI (2,4,6…)OLAN NEGATİF SAYILARIN SONUCU POZİTİF OLUR.

 ­4² = -4 . -4 = 16 DIR.

ÜSSÜ, KUVVETİ TEK SAYI(1,3,5…)OLAN POZİTİF SAYILARIN SONUCU POZİTİF OLUR.

2³ = 2 . 2 . 2 = 8 DİR.

ÜSSÜ, KUVVETİ ÇİFT SAYI (2,4,6…)OLAN POZİTİF SAYILARIN SONUCU POZİTİF OLUR.

 4² = 4 . 4 = 16 DIR.

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

Ax+B=C ŞEKLİNDE YAZILAN DENKLEMLERDİR

A≠ 0  A, B, C REEL SAYILAR KÜMESİNDEN

Ax+B=C İFADESİNİ ÇÖZERKEN SAYILAR VE X’ İFADELER EŞİTLİĞİN FARKLI TARAFLARIDA ALINIR VE DENKLEMİN KÖKÜ (X) BULUNUR.

X+4=8 İSE X=8- 4 ,  X=4   DENKLEMİN KÖKÜ 4’TÜR

2X=20 İSE  HER İKİ TARAFI X’İN KATSAYISINA BÖLEREK İŞLEME DEVAM EDELİM.

2X   = 20    X=10  ÇÖZÜM KÜMESİ 

 2         2

VEYA DENKLEMİN KÖKÜ 10’DUR. 

X+4 = 2      İSE   İÇLER DIŞLAR ÇARPIMI YAPARIZ  

 16      4

4.(X+2) =16.2 İSE 4X+8=32 , 4X=24 , X= 6 DIR.

FAKTÖRİYEL

n! BİRDEN n’ YE KADAR OLAN SAYILARIN ÇARPIMINI İFADE EDER VE N FAKTÖRİYEL DİYE OKUNUR.

n! =(n-1)!.n=(n-2)!.(n-1)!.n ŞEKLİNDE YAZILIR.

0!=1  

1!=1   

2!=1.2=2 

3!=1.2.3=6

4!=1.2.3.4=24

5!=1.2.3.4.5=120 

n!=1.2…….(n-2)! . (n-1)! . n

BEŞ FAKTÖRİYEL(5!) DEN SONRA Kİ BÜTÜN SAYILARIN FAKTÖRİYELLERİNİN SONUNDA BULUNAN SAYININ BİRLER BASAMAĞINDAKİ SAYI SIFIR (0) OLUR.

n! GİBİ BİR SAYIDA y GİBİ BİR ASAL ÇARPAN SAYISINI BELİRLEMEK İÇİN n SAYISI y SAYISINA BÖLÜNÜR BU İŞLEME n SAYISI y SAYISINDAN KÜÇÜK OLANA KADAR DEVAM EDİLİR.

SAYI SİSTEMLERİ-SAYI BASAMAKLARI

BİR SAYIYI OLUŞTURURKEN KULLANDIĞIMIZ RAKAMLARIN HERBİRİNE BASAMAK, RAKAMLARIN BULUNDUKLARI YERDE TEMSİL ETTİKLERİ DEĞERE İSE BASAMAK DEĞERİ DENİR.

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ

SAYILARI OLUŞTURAN RAKAMLARIN TEMSİL ETTİKLERİ BASAMAK DEĞERLERİ İLE BİRLİKTE ÇARPILARAK, YAN YANA TOPLANMASINDAN İBARET BİR İŞLEMDİR.

H,A,K,N  BİRER RAKAM VE ‘’H ‘’SIFIRDAN FARKLI BİR RAKAM OLSUN.

HA, HAK, HAKN BİRER SAYI OLDUĞUNU KABÜL EDERSEK.

H ——BİNLER BASAMAĞINI

A ——YÜZLER BASAMAĞINI

K ——ONLAR BASAMAĞINI

N ——BİRLER BASAMAĞINI  TEMSİL EDER.

BÖYLECE BU SAYILARI TANIMA GÖRE YAZARSAK.

HAKN= 1000.H + 100.A + 10.K + N

  HAK= 100.H + 10.A + K

    HA= 10.H + A

ŞEKLİNDE ÇÖZÜMLENMİŞ OLUR.

TABAN ARİTMATİĞİ

RAKAM KONUSUNU ANLATIRKEN GÜNLÜK HAYATTA ONLUK DÜZEN (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) KULLANILDIĞINDAN BAHSETMİŞTİK ŞİMDİ BU ONLUK SİSTEMİN DAHA BÜYÜK VE DAHA KÜÇÜK TABANLARDA YAZILABİLDİĞİNİ GÖRECEĞİZ.

BİR SAYIYI (ONLUK SİSTEMDE OLAN BİR SAYIYI) FARKLI BİR TABANA DÖNÜŞTÜRMEK İÇİN O SAYIYI, BÖLÜM TABANDAN KÜÇÜK OLUNCAYA KADAR O TABANA (DÖNÜŞTÜRÜLECEK TABAN) BÖLERİZ. SONRA EN SON BÖLÜMDEN BAŞLAYARAK SOLA DOĞRU  KALANLARI YANYANA YAZARIZ . YAZMA İŞLEMİ BİTTİĞNDE GÖRECEĞİZ Kİ YAZDIĞIMIZ YENİ SAYININ RAKAMLARI TABAN SAYISINDAN KÜÇÜKTÜR.

 

  9।2

-8।4।2

 1 -4।2।2

     0 -2। 1  BÖLÜM OLAN BU 1’DEN  YAZMA 

         0       YA BAŞLAYARAK SOLA DOĞRU 2      

                  TABANINDAKİ YENİ SAYIMIZI          

                   YAZALIM

                   = (1001)2        OLUR.

FARKLI TABANLARDA OLAN SAYILARI ONLUK TABANA DÖNÜŞTÜRÜRKEN

AŞAĞIDA BULUNAN KALIPTAN YARARLANIRIZ

(HAKN)X= H.X³ + A.X² + K.X¹+ N.X°

(X°),IN (1) E EŞİT OLDUĞUNU BURADA HATIRLATALIM.

BAZI SORU KALIPLARINDA AYNI TABANDA OLAN SAYILARIN TOPLANMASI, ÇIKARILMASI YADA AYNI SAYININ TABAN SAYISINI BELİRLİ BİR SAYI KADAR FAZLASINI KAÇ OLACAĞI GİBİ DURUMLAR BULUNMAKTADIR.

          (1101)2                            (1011)2

  –   (  201)2                          +      (2)2

           ?                            ?

        ÇIKARMA İŞLEMİNİ YAPACAK OLURSAK 1’DEN 1 ÇIKARSA SIFIR KALIR, SIFIRDAN SIFIR ÇIKARSA SIFIR KALIR, 1’DEN 2 ÇIKMAZ YANDAKİ 1 DEN BİR 2’ LİK (TABAN İKİ OLDUĞU İÇİN) ALIRIZ 3 OLUR 3’TEN 2 ÇIKAR 1 KALIR YANDA BAŞKA İKİLİK KALMADIĞI İÇİN SONUÇ OLARAK (100)2 BULUNUR.

         TOPLAMA İŞLEMİNİ YAPACAK OLURSAK 2 BİR DAHA 3 OLUR. 3 SAYISI 2 TABANINA BÖLÜNÜRSE BÖLÜM 1 VE KALAN 1 OLUR. KALAN BİR YAZILIR. BÖLÜM OLAN BİR DE İKİNCİ BASAMAKTA BULUNAN 1 İLE TOPLANIRSA 2 OLUR BULUNAN 2 TEKRAR TABAN OLAN 2 YE BÖLÜNÜR VE BÖLÜM 1 KALAN 0  BULUNUR BULUNAN KALAN 0 YAZILIR. BÖLÜM OLAN 1  ÜÇÜNCÜ BASAMAKTAKİ 0 İLE TOPLANIRSA 1 ELDE EDİLİR ELDE EDİLEN SAYI 2 TABANINDAN KÜÇÜK OLDUĞU İÇİN AYNEN YAZILIR VE DÖRDÜNCÜ BASAMAKTAKİ 1 SAYISIDA AYNEN YAZILIR BÖYLECE (1101)2 SAYISI ELDE EDİLMİŞ OLUR.

(HAKN)2    SAYISININ BASAMAK DEĞERLERİ 

 ││││_____BİRLER BASAMAĞI

 │││______2¹=2 LER BASAMAĞI

 ││_______2²=4 LER BASAMAĞI

 │________2³=8 LER BASAMAĞI

ŞEKLİNDE YAZILIR.

BÖLME VE BÖLÜNEBİLME

DOĞAL SAYILAR KÜMESİNDE H, A, K, N SAYILARINI ELE ALALIM A SAYISI SIFIRDAN FARKLI BİR SAYI OLSUN. BU SAYILAR İLE  AŞAĞIDAKİ YAPILAN İŞLEM BİR BÖLME İŞLEMİDİR. 

         H│_A__        H= BÖLÜNEN SAYI    

      –       │  K             A= BÖLEN SAYI

           N                        N=  KALAN SAYI

                                      K=  BÖLÜM  SAYISI ‘DIR.

BÖLME İŞLEMİNDE Kİ PRATİK KALIPLARI ŞÖYLE YAZABİLİRİZ.

  • H=A.K+N DİR.
  • N<A YANİ KALAN BÖLENDEN KÜÇÜK’ DÜR
  • N=0 İSE H SAYISI A SAYISINA TAM BÖLÜNÜR.
  • N<K İSE KALAN BÖLÜMDEN KÜÇÜK İSE, BÖLEN İLE BÖLÜMÜN YERLERİ DEĞİŞTİRİLİRSE KALAN DEĞİŞMEZ.
  • BÖLÜNEN SAYIDAN İKİ BASAMAK AŞAĞI İNDİRİLİRSE BÖLÜME BİR SIFIR YAZILIR.
  • D│_U_                     M│_U__

         –     │                          –     │ 

            T                                       Z

D SAYISININ U SAYISI İLE BÖLÜMÜNDEN KALAN T,

M SAYISININ U SAYISI İLE BÖLÜMÜNDEN KALAN Z

OLSUN .

 

  • D│_U_                     M│_U__

 –     │                          –      

  T                                       Z

D  SAYISININ   U  SAYISI İLE BÖLÜMÜNDEN KALAN  T,

M  SAYISININ  U  SAYISI İLE BÖLÜMÜNDEN KALAN  Z  VE BİR DE  Q  SABİT BİR SAYI OLSUN.

D + M  NİN U İLE BÖLÜMÜNDEN KALAN  T + Z

D – M  NİN  U İLE BÖLÜMÜNDEN KALAN T –  Z

D .  M  NİN  U İLE BÖLÜMÜNDEN KALAN  T .  Z

n .  D  NİN  U İLE BÖLÜMÜNDEN KALAN  n .  T

Dⁿ     NİN  U İLE BÖLÜMÜNDEN KALAN  Tⁿ

OLUR

BÖLÜNEBİLME KURALLARI

2 İLE BÖLÜNEBİLME;

TEK SAYILARIN (1,3,5,7…)  2 İLE BÖLÜMÜN DEN  KALAN 1 DİR.

ÇİFT SAYILAR(2,4,6,8…) 2 İLE TAM BÖLÜNÜR.

3 İLE BÖLÜNEBİLME;

RAKAMLARI TOPLAMI 3 VE 3 ÜN KATI OLAN SAYILAR 3 İLE TAM BÖLÜNÜR. BİR SAYININ 3 İLE BÖLÜMÜNDEN KALAN İLE SAYININ RAKAMLARI TOPLAMININ 3 İLE BÖLÜMÜN DEN KALAN SAYI EŞİTTİR.

4 İLE BÖLÜNEBİLME;

SON İKİ BASAMAĞI 00,04,08,VE 4’ÜN KATI OLAN SAYILAR 4 İLE TAM BÖLÜNÜR.  BİR SAYININ 4 İLE BÖLÜMÜNDEN KALAN SAYININ SON İKİ BASAMAĞININ 4 İLE BÖLÜMÜNDEN KALANA EŞİTTİR.

5 İLE BÖLÜNEBİLME;

 SON RAKAMI (BİRLER BASAMAĞI) 0 VEYA 5 OLAN SAYILAR 5 İLE TAM BÖLÜNEBİLİR.

BİR SAYININ 5 İLE BÖLÜMÜNDEN KALAN SAYININ SON RAKAMININ 5 İLE BÖLÜMÜN DEN KALANA EŞİTTİR.

8 İLE BÖLÜNEBİLME;

BİR SAYININ SON ÜÇ BASAMAĞI 8 İLE TAM BÖLÜNEBİLİYORSA  O SAYI 8’ İLE BÖLÜNÜR.

9 İLE BÖLÜNEBİLME;

RAKAMLARI TOPLAMI 9 VEYA 9’ UN KATI OLAN SAYILAR 9 İLE TAM BÖLÜNÜR.

BİR SAYININ 9 İLE BÖLÜMÜNDEN KALAN RAKAMLARI TOPLAMININ 9 İLE BÖLÜMÜN DEN KALANA EŞİTTİR.

10 İLE BÖLÜNEBİLME;

BİR SAYININ SON TAKAMI SIFIR İSE O SAYI 10 İLE TAM BÖLÜNÜR.

BİR SAYININ 10 İLE BÖLÜNMESİNDEN KALAN SAYI SAYININ BİRLER BASAMAĞINDAKİ SAYIYA EŞİTTİR.

11 İLE BÖLÜNEBİLME;

BİR SAYIYI 11 İLE BÖLMEK İÇİN SAĞDAN SOLA DOĞRU RAKAMLARA(+), (-) YAZILIR. SONRA ARTI YAZILAN SAYILAR VE EKSİ YAZILAN SAYILAR TOPLANIR. ARTILARIN TOPLAMI VE EKSİLERİN TOPLAMI BİR BİRİNDEN ÇIKARILDIĞINDA BULUNAN SAYI 

SIFIR VE 11 İN KATI İSE SAYI 11 İLE TAM BÖLÜNÜR.

SAYIMIZ ‘’HAKN’’ OLSUN.

‹ ‹ ‹ ‹    SAĞDAN SOLA YADA SONDAN BAŞA  

- + – +

HAKN = (N+A) – (K+H) 0 VEYA 11 İN KATI OLACAK.

KONUMUZA DEVAM EDECEK OLURSAK,

2 VE 3 İLE BÖLÜNEN SAYILARIN 6  İLE

2 VE 5 İLE BÖLÜNEN SAYILARIN 10 İLE

3 VE 5 İLE BÖLÜNEN SAYILARIN 15 İLE

2 VE 9 İLE BÖLÜNEN SAYILARIN 18 İLE

4 VE11 İLE BÖLÜNEN SAYILARIN 44 İLE

BÖLÜNDÜĞÜNÜN SAĞLAMASINI YAPABİLİRSİNİZ.

ASAL ÇARPANLARA AYIRMA EBOB-EKOK

BİR SAYININ ASAL BÖLENLERİ, O SAYIYI TAM OLARAK BÖLEN ASAL SAYILARDIR.

J BİR DOĞAL SAYI VE H, K, L ASAL SAYILAR İSE

J=Hª.K*.Lⁿ

BU SAYININ POZİTİF TAM SAYI BÖLENLERİNİN SAYISI = (a+1).(*+1). (n+1) DİR.

BİR SAYININ;

POZİTİF TAM SAYI BÖLENLERİ İLE NEGATİF TAM SAYI BÖLENLERİ BİRBİRİNE EŞİTTİR.

TAM SAYI BÖLENLERİ TOPLAMI; NEGATİF TAM SAYI BÖLENLERİ İLE POZİTİF TAM SAYI BÖLENLERİNİN TOPLAMINA EŞİTTİR.

TAM SAYI BÖLENLERİNİN TOPLAMI SIFIRDIR.

EBOB (EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN)

İKİ VEYA DAHA FAZLA SAYININ ORTAK BÖLENLERİNİ EN BÜYÜĞÜNE DENİR.

SAYILARIN YAN YANA BÖLÜNMESİNDEN SONRA ORTAK BÖLENLERİN ÇARPILMASI İLE BULUNUR.

EBOB(H,K) ŞEKLİNDE YAZILIR.

EKOK (EN KÜÇÜK ORTAK KAT)

İKİ YADA DAHA FAZLA SAYININ ORTAK KATLARININ EN KÜÇÜĞÜNE DENİR.

SAYILARIN YAN YANA BÖLÜNMESİNDEN SONRA BÜTÜN BÖLENLERİN ÇARPILMASI İLE BULUNUR.

EKOK(H,K) ŞEKLİNDE YAZILIR.

EKOK VE OBEB İLE İLGİLİ ETKİLEŞİMLER;

EBOB(H, K) . EKOK(H, K)= H . K’ DIR.

ARALARINDA ASAL SAYILARIN OKEK’İ SAYILARIN ÇARPIMLARINA, OBEBİ 1’ E EŞİTTİR.

H, K SAYILARI DOĞAL SAYILAR KÜMESİNDE VE

K ≥ H OLMAK ÜZERE,

EKOK (H, K) ≥ K > H ≥ EBOB (H, K) DIR.

BİR ÖRNEK YAPACAK OLURSAK SAYILARIMIZ 18, 24 SAYILARI OLSUN.

72   160  │ 2        EBOB(72,160)= 2³=8 DİR

36     80  │ 2       

18     40  │ 2        EKOK(72,160)=2⁵.5¹.3²

 9      20  │ 2           //       //      =32.5.9

 9      10  │ 2           //        //     =46 DIR.

 9        5  │ 5    POZ.TAM.SAY.BÖL.=2⁵.5¹.3²

 9         1 │ 3                   =(5+1).(1+1).(2+1)    

 3            │ 3                   =36 DIR.

 1            │       NEG.TAM.SAY.BÖL.= -36 DIR.

       NEG.VE POZ. TAM.SAY.BÖL.TOPLAMI = – 36 + 36

                                                                          = 0 DIR. 

KESİR TÜRLERİ

 _ H _ ———–PAY                       

    K    ———–PAYDA

  • BASİT KESİR

NEGATİF YADA POZİTİF OLMASI (İŞARETİ) DİKKATE ALINMAKSIZIN PAY, PAYDA’ DAN KÜÇÜK İSE BASİT KESİRDİR. BASİT KESİRLER -1 İLE +1 ARSINDADIR.(SAYI DOĞRUSUNDA)  -1,  3,   100_   GİBİ

                               2   5   1000

  • BİLEŞİK KESİR

NEGATİF YADA POZİTİF OLMASI (İŞARETİ) DİKKATE ALINMAKSIZIN PAY, PAYDA’ DAN BÜYÜK İSE BASİT KESİRDİR. BASİT KESİRLER SIFIR DIŞINDAKİ BÜTÜN SAYILARDAN OLUŞUR

-2,  5,   1000_   GİBİ

 1   3     100

  • TAM SAYILI KESİR

BASİT KESRİN TAM SAYILI MODELİDİR. 

TAM KISIM VE BASİT KESİRDEN OLUŞUR

        3                             3

 4 ——— VEYA  4 + ———–  YAZILABİLİR.

        5                             5

TAM SAYILI KESRİ BİLEŞİK KESİRE, BİLEŞİK KESİRİDE TAM SAYILI KESİRE ÇEVİREBİLİRİZ.

BİLEŞİK KESİRİ TAM SAYI KESİRE ÇEVİRMEK İÇİN PAYI PAYDAYA BÖLERİZ. VE SONRA ŞU ŞEKİLDE TAM SAYILI KESRİMİZİ YAZABİLİRİZ.

                                                      KALAN

TAM SAYILI KESİR = BÖLÜM . —————-

                                           BÖLEN

_13_  BİLEŞİK KESRİNİ ELE ALALIM

   3

    13│_3__                 1   

  –  12    4          =  4. ——  OLUR.

       1                                  3

TAM SAYILI KESİRİ BİLEŞİK KESİRE ÇEVİRMEK İÇİN İSE TAM KISIM İLE PAYDA’ YI ÇARPAR VE PAY İLE TOPLARIZ. ÇIKAN SONUCU PAYA YAZARIZ PAYDADA Kİ SAYIYI AYNEN PAYDAYA YAZARIZ.

                            T S K PAYDASI .TAM KISIM+PAY

BİLEŞİK KESİR=  ———————————————

                            T S K    PAYDASI

        1          3 .4 + 1            13   

4 . ——-    = ————- = ———– BULUNUR.

        3                3                 3

KESİRLİ (RASYONEL) SAYILARI SIRALAYABİLİRİZ. BUNUN İÇİN ŞUNLARA DİKKAT ETMELİYİZ.

ÖNCE PAY, YADA PAYDALARI EŞİTLERİZ.

  • POZİTİF SAYILARIN PAYDA’ LARI EŞİT İSE PAY’ I BÜYÜK OLAN SAYI BÜYÜKTÜR.

 

   8         7          6

—– >  —–  > —–  

   9         9          9 

  • POZİTİF SAYILARIN PAY’ LARI EŞİT İSE PAYDA’ SI BÜYÜK OLAN SAYI KÜÇÜKTÜR.

   5         5          5

—– <  —–  < —–  

   8         7          6 

  • PAYDASI VE PAYI ARASINDAKİ FARK EŞİT OLAN BASİT KESİRLERİN PAY’ I BÜYÜK OLAN SAYI BÜYÜKTÜR.

 998       98         8

—— > —— > ——-

 999       99         9

  • PAYDASI VE PAYI ARASINDAKİ FARK EŞİT OLAN BİRLEŞİK KESİRLERİN PAY’ I KÜÇÜK OLAN SAYI BÜYÜKTÜR.

 69        68         67

—— < —— < ——-

 68        67         66

  • NEGATİF KESİRLİ SAYILARIN SIRALANIŞINDA ÖNCE POZİTİFMİŞ GİBİ İŞLEM YAPILIR SONRA İŞLEMİN TERSİ ALINIR.

  5        7         9                   5               7                9

—-  > — > —  =»  –  —– < -  —– < –  —–

  6        8        10                  6               8               10

ONDALIK SAYILAR (KESİRLER)

PAYDADA BULUNAN SAYININ 10 VE 10 UN KATI OLDUĞU SAYILARDIR.

3,5      ,        5,50          ,       65,850   GİBİ SAYILAR

BU SAYILARI ŞU ŞEKİLDE KESİRLİ YAZABİLİRİZ.  

ÖNCE SAYININ TAMAMINI VİRGÜLSÜZ PAYA YAZARIZ. SONRA PAYDAYA VİRGÜLDEN SONRA KAÇ BASAMAK VARSA O KADAR SIFIR YAZARIZ. YADA V-BİR BASAMAK VARSA 10¹ İKİ BASAMAK VARSA 10² ÜÇ BASAMAK VARSA 10³ İLE ÇARPARIZ

           35              35

3,5 = ———-   =  ——-

           10¹         10

 

            550           550

5,50 = ——— =  ——–

             10²        100

 

                65850       65850

65,850 = ———- =  ———-

                   10³       1000 

ONDALIK SAYILARDA (KESİRLER) DÖRT İŞLEM

  • ONDALIK SAYILARDA (KESİRLER) TOPLAMA

SAYILAR VİRGÜLLER AYNI HİZAYA GELECEK ŞEKİLDE YAZILIR VE İŞLEM YAPILIR.

          34,50

          60,45

      +    5,35

        100,30    BULUNUR.

  • ONDALIK SAYILARDA (KESİRLER) ÇIKARMA

SAYILAR VİRGÜLLER AYNI HİZAYA GELECEK ŞEKİLDE YAZILIR VE İŞLEM YAPILIR.

          60,45

      –     5,35

          55,10    BULUNUR.

  • ONDALIK SAYILARDA (KESİRLER) ÇARPMA

SAYILARIN VİRGÜLLERİ YOKMUŞ GİBİ YAZILIR VE İŞLEM YAPILIR. SONRA ÇARPILAN SAYILARIN VİRGÜLDEN SONRAKİ SAYISI TOPLAMI KADAR SAYININ SONUNDAN VİRGÜL KONUR.

          10,5      ——- VİRGÜLDEN SONRA BİR

      x    5,3      ——- VİRGÜLDEN SONRA BİR

           315    

      + 525__    

          55,65    ——- TOPLAM İKİ BASAMAK   

  • ONDALIK SAYILARDA (KESİRLER) BÖLME

SAYILARI VİRGÜLDEN KURTARMAK MAKSADIYLA VİRGÜLDEN SONRAKİ BASAMAK SAYISI KADAR 10 VE 10 UN KATLARIYLA ÇARPARIZ.

  0,3       10          3             0,06    100          6

——– . —— =  ———  ,   ——– . —— =  ———

  0,5       10           5            0,7      100         70

DEVİRLİ ONDALIK SAYILAR

VİRGÜLDEN SONRAKİ KISMI SÜREKLİ DEVREDEN SAYILARDIR.    

                              ___

HA,KNKNKN= HA,KN  ŞEKLİNDE YAZILIR.

DEVİRLİ ONDALIK SAYILAR RASYONEL SAYIYA ÇEVRİLEBİLİR. BUNUN İÇİN ; RASYONEL SAYININ PAY’INA DEVREDEN ONDALIKLI SAYI KOPLE YAZILIR. YAZILAN BU SAYIDAN DEVİRLİ ONDALIKLI SAYININ DEVRETMEYEN KISMI ÇIKARILIR ÇIKAN SONUÇ PAY’ A YAZILIR.

RASYONEL SAYININ PAYDASINA İSE DEVREN ONDALIKLI SAYININ VİRGÜLDEN SONRA DEVREDEN RAKAM KADAR DOKUZ, DEVRETMEYEN RAKAM KADAR SIFIR YAZILIR ÇIKAN SAYI PAYDA OLUR.

      __     HAKN – HA

HA,KN = —————–

                    9900

      ___        HAKNŞR – HA

HA,KNŞR = ———————

                          9990

DEVREDEN ONDALIKLI SAYILARDA VİRGÜLDEN SONRA  DEVREDEN SAYI DOKUZ İSE;  DOKUZ ATILARAK ÖNÜNDEKİ SAYIYA 1 EKLENİR.

     _                            _

5,69 = 5,7   ,    15,9579 = 15,958  OLUR.

ÖZDEŞLİKLER VE ÇARPANLARA AYIRMA

P(X)=Q(X).R(X)ise, Q(X) ve R(X)’e P(X)’in çarpanları denir.

ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE ALMA

P(X).Q(X)+P(X).R(X)=P(X).( Q(X)+R(X) DİR.

  • 4x + 8 = 4 . (x + 2 )
  • 20x – 5 = 5 . (4x – 1)
  • x² – 4x = x . ( x – 4)
  • 5x²y – 2xy² = x . y (5x – 2y)

ÖZDEŞLİKLERDEN YARARLANARAK ÇARPANLARA AYIRMA

1.İKİ KARE FARKI

  • x² – y² = (x – y) . (x + y)
  • x² – 1 = (x – 1) . (x + 1)
  • x² – 4 = (x – 2) . (x + 2)
  • x² – 36 = (x – 6) . (x + 6)
  • 49 – x² = (7 – x) . (7 + x)
  • x² – 3 = [ x – (√3) ] . [ x + (√3) ]

2.TAM KARE İFADELER

  • (x – y)² = x² – 2xy + y²
  • (x + y)² = x² +2xy + y²
  • (x + 3)² = x² + 6x + 9
  • (2x + 4)² = 4x² + 16x + 16
  • (x – √3)² = x² – 2√3x + 3
  •     a² + b² = (a + b)² – 2ab
  •  (a + b)² = (a – b)² + 4ab 
  •  (a – b)² = (a + b)² – 4ab

3.KÜPLÜ İFADELER

İKİ KÜP FARKI

  • x³ – y³ = (x – y) . (x² + xy + y²)
  • x³ – y³ = (x – y)³ + 3xy (x – y)
  • x³ – 1 = (x – 1) . (x² + x + 1)
  • x³ – 8 = (x – 2) . (x² +2x + 4)
  • 8x³ – 27 = (2x – 3) . (4x² + 6x + 9)

İKİ KÜP TOPLAMI

  • x³ + y³ = (x + y) . (x² – xy + y²)
  • x³ + y³ = (x + y)³ – 3xy (x + y)
  • x³ + 1 = (x + 1) . (x² – x + 1)
  • x³ + 8 = (x + 2) . (x² -2x + 4)
  • 8x³ + 27 = (2x + 3) . (4x² – 6x + 9)

İKİ KÜP AÇILIMI

  • (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³
  • (x – y)³ = x³ – 3x²y + 3xy² – y³
  • (x + 1)³ = x³ + 3x² + 3x + 1
  • x³ + 8 = x³ + 24x² + 192x + 512
  • (x – 1)³ = x³ – 3x² + 3x – 1
  • x³ – 8 = x³ – 24x² + 192x – 512
  • (x + y)⁴ = x⁴ + 4x³y + 6x²y² + 4xy³ + y⁴
  • (x – y)⁴ = x⁴ – 4x³y + 6x²y² – 4xy³ + y⁴
  • (x + y)⁵=x⁵ + 5x⁴y + 10x³y² + 10x²y³ + 5xy⁴ + y⁵
  • (x – y)⁵=x⁵ – 5x⁴y + 10x³y² – 10x²y³ + 5xy⁴ – y⁵
  1. x² + ax + b ŞEKLİNDEKİ İFADELERİN ÇARPANLARA AYRILMASI

x² + ax + b İFADESİNİ ÇARPANLARA AYIRMAK İÇİN ÇARPIMLARI b Yİ TOPLAMLARI a YI VEREN İKİ SAYIYI BULMAKTIR. SONRA BU SAYI AYRI AYRI X İLE TOPLANIR VE TOPLAMLAR DA BİRBİRİYLE ÇARPILIR. İKİ SAYIMIZ H VE N OLSUN.

x² + ax + b  =

       │      │ 

     H+N    H. N OLMALI   = (x + H) . (x + N) YAZILIR.     

x² + 8x + 15 = ?

       3+5   3. 5  = (x+3) . (x+5)  dır.

  1. ax² + bx + c ŞEKLİNDEKİ İFADELERİN ÇARPANLARA AYRILMASI

ax² + bx + c İFADESİNİ ÇARPANLARA AYIRMAK İÇİN ÇARPIMLARI ax² Yİ VEREN İKİ SAYI VE ÇARPIMLARI c Yİ VEREN İKİ AYRI SAYI  BULUNUR. BU SAYILAR BÜYÜKTEN KÜÇÜĞE DOĞRU İFADELERİN ALTINA YAZILIR. YAZDIĞIMIZ BU SAYILARIN ÇAPRAZ ÇARPIMLARININ TOPLAMI bx SAYISINI VERMELİDİR. BULDUĞUMUZ SAYILAR KARŞILIKLI OLARAK TOPLANIR VE BULUNAN SAYILAR ÇARPILIR. SAYILARIMIZ H, N VE Ş, R OLSUN.

ax² + bx + c  = ?

│             │ 

Hx             Ş     = (Hx + Ş ) . (Nx + R) YAZILIR.     

.                 .   

Nx             R

BURADA bx= (Nx . Ş) + (Hx . R) OLMALIDIR.

8x² + 32x + 30  = ?

│              │

4x                 6      =(4x+6) . (2x+5) olur

.                    . 

2x                 5

BURADA 32X= (2.6) +(4.5) DİR.

KESİRLİ ORTAK ÇARPANLARIN SADELEŞTİRİLMESİ.

KESİRLİ SAYILARIN PAYINDA VE PAYDASIN DA BULUNAN ORTAK ÇARPANLAR SADELEŞ TİRİLEBİLİR. BURADA AMAÇ X³…., X²…..Lİ İFADELERİ ÇARPANLARINA AYIRARAK VE ÇARPANLARINI ÇARPARAK, BİRBİRİNE BENZETEREK SADELEŞTİRİLEBİLİR HALE GETİRMEK VE BU İŞLEMİ EN SADE HALE YANİ İFADELERİN SADELEŞMEZ DURUMUNA GELENE KADAR DEVAM ETMEKTİR.

x³-1    .    _ x-1  = EN SADE HALİ NEDİR.?

(x-1)²     x²+x+1

 

x³-1    .    _ x-1  =   (x-1) . (x²+x+1) .    x-1  _

(x-1)²     x²+x+1         (x-1).(x-1)         x²+x+1

                          = 1 OLUR.

DENKLEMLER

  • BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

ax+b=0 ŞEKLİNDEKİ DENKLEMLERDİR. X’ E DENKLEMİN KÖKÜ DENİR. a SIFIRDAN FARKLI BİR SAYI VE a, b GERÇEL SAYILAR KÜMESİNİN ELEMANIDIR. BİR DENKLEMDE DENKLEMİ ÇÖZMEK İÇİN O DENKLEMDEKİ BİLİNMEYEN SAYISI KADAR DENKLEME İTİYAÇ VARDIR.

BİR DENKLEMDE DENKLEMİN KÖKÜNÜN ÜSSÜ(KUVVETİ) DENKLEMİN DERECESİNİ BELİRLER. YANİ ax³+bx⁴+c=0 İSE DENKLEM  

DÖRDÜNCÜ DERECEDEN (bx⁴) DENKLEM DİR.ax⁵+bx²+c=0 İSE BEŞİNCİ DERECEDEN (ax⁵)DİR.

  • BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER.

ax+by+c=0 ŞEKLİNDEKİ DENKLEMLERDİR.  a,b,c  SIFIRDAN FARKLI BİR SAYI VE GERÇEL SAYILAR KÜMESİNİN ELEMANIDIR. BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEM TANIMINDA BELİRTTİĞİMİZ GİBİ BU  DENKLEMİ ÇÖZMEK İÇİN İKİ DENKLEME (x,y İKİ BİLİNMEYEN VAR) İTİYAÇ VARDIR. BU DENKLEMN ÇÖZÜMÜNDE YOK ETME METODUNU KULLANACAĞIZ. YOK ETME METODU İKİ DENKLEMDE FARKLI İŞARETLİ BİLİNMEYENLİ SAYILAR OLUŞTURARAK SIFIRLAMAKTIR. BU NU YAPARKEN FARKLI İŞARET VE SAYILAR İLE DENKLEMLERİ ÇARPARIZ.

     5x+6y=0     y=?  

     5y+6x=0

 

          6/ 5x+6y=50      

  +    -5/  5y+6x=60

        30x+36y= 300             -30 İLE +30 BİRBİRİNİ SI

  +   -25y -30x= -300            FIRLAR.

       11y=0 İSE y=0 OLUR.

MUTLAK DEĞER

SAYI DOĞRUSUNDA BİR SAYININ SIFIRA OLAN UZAKLIĞIDIR. BİR SAYININ MUTLAK DEĞERİNİN ALABİLECEĞİ EN KÜÇÜK DEĞER SIFIRDIR. BİR SAYININ MUTLAK DEĞERİ NEGATİF OLAMAZ.

│H│= İSE  H,0=0   ,   H,H>0   ,    -H,H<0 DIR.

MUTLAK DEĞER KONUSUNDA ELE ALABİLECEĞİMİZ KURALARI SÖYLE YAZABİLİRİZ.

  • │H│=│-H│

 

  • │H-Ş│=│Ş-H│

 

  • │H│.│Ş│=│H.Ş│

 

   │H│     │ H │ 

  • ——= │ Ş │

   │Ş│     

 

  • │Hⁿ│=│H│ⁿ

 

  • │H│+│Ş│≥│H+Ş│

BASİT EŞİTSİZLİKLER

H, Ş BİRER SAYI İSE H, Ş SAYILARI ARASINDA OLAN SAYILARIN TAMAMINA ARALIK DENİR

ÜÇ ÇEŞİT ARALIK VARDIR. YARIAÇIK, AÇIK, KAPALI ARALIK SONSUZ KONUSU HER ZAMAN AÇIK ARALIĞI İFADE EDER.

YARI AÇIK ARALIK H≤N<Ş  H VE Ş SAYISI ARASINDA BULUNAN N SAYISIDIR. VE [H, Ş) ŞEKLİNDEDE YAZILABİLİR.

AÇIK ARALIK H<N<Ş  H VE Ş SAYISI ARASINDA BULUNAN N SAYISIDIR. VE (H, Ş) ŞEKLİNDEDE YAZILABİLİR

KAPALI ARALIK H≤N≤Ş  H VE Ş SAYISI ARASINDA BULUNAN N SAYISIDIR. VE [H, Ş] ŞEKLİNDEDE YAZILABİLİR.

BASİT EŞİTSİZLİKLER KAVRAMI KONUSUNDA ELE ALABİLECEĞİMİZ KURALLARI SÖYLE YAZABİLİRİZ.

  • H > Ş İSE H +N > Ş +N DİR.

EŞİTSİZLİĞİN HER İKİ TARAFIDA AYNI SAYI (N) İLE ÇIKARILIR VE TOPLANIRSA EŞİTSİZLİĞİN YÖNÜ DEĞİŞMEZ.

  • N >0 VE  H > Ş  İSE

 H       Ş         

— > —       VE       H . N > Ş . N    DİR.

  N      N

EŞİTSİZLİĞİN HER İKİ TARAFIDA POZİTİF   SAYI (+N) İLE BÖLÜNÜR VE ÇARPILIRSA  EŞİTSİZ LİĞİN YÖNÜ DEĞİŞMEZ.

  • N< 0 VE  H > Ş  İSE

 H       Ş         

— < —       VE       H . -N < Ş . -N    DİR.

 -N     -N

EŞİTSİZLİĞİN HER İKİ TARAFIDA NEGATİF  SAYI (-N) İLE BÖLÜNÜR VE ÇARPILIRSA  EŞİTSİZLİĞİN YÖNÜ DEĞİŞİR.

  • H > Ş VE K > R     İSE

 H + K > Ş + R   DİR.

YÖNÜ AYNI OLAN EŞİTSİZLİKLER;

 TARAF TARAFA ÇIKARILAMAZ

 TARAF TARAFA TOPLANABİLİR.

  • H > Ş VE K > R     İSE    H > R DİR.

 EŞİTSİZLİKLERİN GEÇİŞME ÖZELLİĞİ VARDIR.

  • H > 0 VE N > 0 VEYA H< 0 VE N< 0 İSE

               1            1

H>N = ——  <  ——-           DİR.

               H            N

  • H POZİTİF TAM SAYILAR KÜMESİNDE VE

H>N>0   İSE  Hª>Nª>0   DİR.

  • H POZİTİF TAM SAYILAR KÜMESİNDE OLMAK ÜZERE 0>H>N İSE

0>H²ª­¹ >N²ª­¹ VEYA  N²ª > H²ª >0 DİR.

  • ª SIFIRDAN FARKLI POZİTİF REEL SAYI OLMAK ÜZERE

H>1 İSE  Hª>H   DİR.

1>H>0 İSE Hª<H DİR.

ÜSLÜ SAYILAR

ª  BİR POZİTİF TAM SAYI VE  H  BİR GERÇEL SAYI İSE Hª BİR ÜSLÜ SAYIDIR. ª SAYISI ÜS(KUVVET) H SAYISI TABAN OLARAK ADLANDIRILIR.

 ª=4  İSE   Hª=H.H.H.H      

ª=8  İSE    Hª=H.H.H.H.H.H.H.H   DİR.

ÜSLÜ İFADELER (SAYILAR) KAVRAMI KONUSUNDA ELE ALABİLECEĞİMİZ KURALLARI SÖYLE YAZABİLİRİZ.

  • H°=1 DİR.
  • 0°= TANIMSIZDIR.
  • 1ª=1 DİR.
  • (-1)²ⁿ=1 NEG.SAY. ÇİFT KUV. POZ. ,

    (-1)²ⁿ­¹=1 NEG.SAY. TEK KUV. POZ.DİR 

ÜSLÜ SAYILARDA DÖRT İŞLEM

Ş.Hª=? İFADESİNDE;

Ş= KATSAYI,   H= TABAN,   ª=ÜS(KUVVET) DİR.     

TOPLAMA-ÇIKARMA(ÜSLÜ İFADELERDE)

ÜSLERİ VE TABANLARI AYNI OLAN ÜSLÜ SAYILAR TOPLANIP-ÇIKARILABİLİR. BU DURUMDA OLAN SAYILARIN KATSAYILARI TOPLANIP-ÇIKARILIR ORTAK TABAN VE ÜS AYNEN YAZILIR.

Ş.Hª + N.Hª =(Ş+N).Hª DİR.

Ş.Hª – N.Hª =(Ş-N).Hª DİR.

ÇARPMA (ÜSLÜ İFADELERDE)

ÜSLERİ FARKLI TABANLARI AYNI OLAN ÜSLÜ SAYILAR ÇARPILIRKEN ÜSLER TOPLANIR.

ÜSLERİ AYNI TABANLARI FARKLI OLAN ÜSLÜ SAYILAR ÇARPLIRKEN ORTAK ÜS ALINIR TABANLAR ÇARPILIR.

Hª . Hⁿ = Hª+ⁿ    DİR.

ު . Nª =(Ş. N)ª   DİR.

BÖLME (ÜSLÜ İFADELERDE)

ÜSLERİ FARKLI TABANLARI AYNI OLAN ÜSLÜ SAYILAR BÖLÜNÜRKEN ÜSLER ÇIKARILIR.

ÜSLERİ AYNI TABANLARI FARKLI OLAN ÜSLÜ SAYILAR BÖLÜNÜRKEN ORTAK ÜS ALTINDA TABANLAR BÖLÜNÜR.

   Hª

——= Hª-ⁿ    DİR.

   Hⁿ

   ު            Ş

——=    (——)ª DIR.

   Nª            N

ÜSLÜ DENKLEMLER

  • ÜSLÜ SAYILARIN TABANLARI EŞİT İSE ÜSLERİDE BİRBİRİNE EŞİTTİR.

H SAYISI (-1,0,1) DEN  FARKLI BİR SAYI OLMAK ÜZERE Hª = Hⁿ  İSE  ª = ⁿ  DİR.

  • ÜSLÜ SAYILARIN ÜSLERİ EŞİT İSE;

ª= ÇİFT SAYI İSE Hª=Nª İSE H=N  VEYA H = -N DİR.

ª= TEK SAYI İSE Hª=Nª İSE H=N DİR.

  • Hª= 1 İSE

   H= 1 VEYA

   H= -1 VE ª ÇİFT SAYI   VEYA

   H≠ 0  VE ª= 0  OLABİLİR.

  • Hx =Nm ve Hy=Nş İSE

    x             m

——– =  ——–      DİR.

    y              ş      

KÖKLÜ SAYILAR

ª= 1 DEN FARKLI VE BÜYÜK DOĞAL SAYI VE Hª=Ş İSE H=ª√Ş DİR VE H SAYISI Ş’NİN ª.DERECEDEN KÖKÜDÜR

ª√H İSE ª ÇİFT İSE ª≥0 ª TEK İSE H REEL SAYI OLMALIDIR.

²√H= √H  KARAKÖK  H  DİYE OKUNUR.

3√H= √H  KÜPKÖK  H  DİYE OKUNUR.

⁴√H= √H  DÖRDÜNCÜ DERECEDEN KÖK  H  DİYE OKUNUR

ª√H+ⁿ√Ş=0 İSE ª, ⁿ SIFIRDAN BÜYÜK ÇİFT DOĞAL SAYI VE H=0 VE Ş=0 OLMALIDIR.

KAREKÖK KONUSUYLA İLGİLİ YAZABİLECEĞİMİZ BAZI KURALLAR ŞUNLARDIR.

  • ª√Hⁿ=Hⁿ∕ª DİR.
  • H≥0 İSE ª√Hª=H DİR.
  • ª SAYISI TEK BİR SAYI İSE

   ª√Hª=H  DİR.

   ª SAYISI ÇİFT BİR SAYI İSE 

   ª√Hª=│H│  DİR.

  • H>0 VE *  BİR DOĞAL SAYI OLMAK ÜZERE BİR KÖKLÜ SAYININ, KÖKÜNÜN DERECESİ VE KÖKÜ ALINAN SAYI;

GENİŞLETİLEBİLİR.  

ª√Hⁿ=ª*√Hⁿ*  DİR.     *’ İLE  ÇARPARIZ

SADELEŞTİRİLEBİLİR.

ª√Hⁿ=ª⁄*√Hⁿ⁄*  DİR.   *’ A BÖLERİZ.

      ____      

  • ª√Hª.Ş=H.ª√Ş DİR. H>0

                   ____

  • H.ª√Ş =ª√Hª.Ş DİR.

KÖKLÜ SAYILARDA DÖRT İŞLEM

H.ª√Şⁿ İSE BU İFADEDE 

H= KATSAYI ,  ª= KÖKÜN DERCESİNİ

Ş=KÖKÜ ALINAN SAYI √= KÖK İŞARETİ

ⁿ= KÖKÜ ALINAN SAYININ DERECESİNİ

TEMSİL ETMEKTEDİR.

  • ÇIKARMA-TOPLAMA(KÖKLÜ SAYILARDA)

H.ª√Ş – K.ª√Ş + R.ª√Ş=(H-K+R)ª√Ş DİR

KÖK DERECESİ(ª) VE KÖKÜ ALINAN SAYI(Ş)    AYNI OLAN KÖKLÜ SAYILARIN KATSAYILARI (H,K,R) TOPLANIP ÇIKARTILIR, KÖK(ª√ ) VE KÖKÜ ALINAN SAYI(Ş) AYNEN YAZILIR.

  • ÇARPMA (KÖKLÜ SAYILARDA)

                                       ______ 

ª√Ş . ª√N . ª√R= ª√Ş.N.R   DİR.

KÖK DERECELERİ(ª) AYNI OLAN KÖKLÜ SAYILARIN KÖKÜ ALINAN SAYILARI(Ş,N,R) ÇARPILIR KÖK DERECESİ(ª) AYNEN YAZILIR.

KÖK DERECELERİ EŞİT OLMAYAN SAYILARIN ÇARPILABİLMESİ İÇİN ÖNCE KÖK DERECELERİ EŞİTLENİR.

  • BÖLME (KÖKLÜ SAYILARDA)

 ª√Ş           ⁄¯¯¯Ş¯¯¯¯

——- =    ⁄ ———–        DİR.

 ª√N     ª√        N

KÖK DERECELERİ(ª) AYNI OLAN KÖKLÜ SAYILARIN KÖKÜ ALINAN SAYILARI (Ş,N) BÖLÜNÜR KÖK DERECESİ (ª) AYNEN YAZILIR. KÖK DERECELERİ EŞİT OLMAYAN SAYILARIN BÖLÜNEBİLMES İÇİN ÖNCE KÖK DERECELERİ EŞİTLENİR.

  • PAYDASI KÖKLÜ OLAN KESİRLİ SAYININ PAYDASINI KÖKSÜZ İFADE HALİNE GETİREBİLİRİZ. BUNUN İÇİN PAYDADAKİ

KÖKLÜ SAYIYI KENDİSİ İLE ÇARPARIZ.

  H                  H          H√Ş          H√Ş

—— İSE  =  ——- =  ———– =  ———-    DİR.

√Ş                √Ş          (√Ş)²         Ş

                     (√Ş)

 PAYDADAKİ KÖKLÜ SAYILARI EŞLENİKLERİ İLE ÇARPARAK PAYDAYI KÖKSÜZ SAYILAR HALİNE GETİREBİLİRİZ.

     K                      K            K .(√Ş -√N)         

———– İSE  = ———-  =  ——————  DİR.

√Ş+√N            √Ş+√N           Ş – N

                        (√Ş-√N)

     K                      K            K .(√Ş +√N)         

———– İSE  = ———-  =  ——————  DİR.

√Ş-√N            √Ş-√N           Ş – N

                        (√Ş+√N)

İÇ İÇE KÖKLER

İÇ İÇE KÖKLER KONUSUYLA İLGİLİ ŞU KURALLARI YAZABİLİRİZ.

  • ___

ª√ⁿ√H =ª ⁿ√H  DİR.

ÇARPIM DURUMUNDAKİ FARKLI KÖK DERECELİ İÇ İÇE KÖKLER AYNI KÖK ALTINDA YAZILARAK KÖK DERECELERİ ÇARPILIR.

  • _____ ____

ª√Hⁿ√Ş =ª ⁿ√Hⁿ.Ş  DİR.

ÇARPIM DURMUNDAKİ FARKLI KÖK DERECELİ VE FARKLI KÖKÜ ALINAN SAYISI BULUNAN İÇ İÇE KÖKLER AYNI KÖK ALTINDA YAZILARAK KÖK DERECELERİ ÇARPILIRKEN BİRİNCİ KÖKÜ ALINAN SAYI İKİNCİ KÖKÜN DERECESİNİ ALARAK KÖKÜ ALINAN SAYILAR AYNI KÖK ALTINDA ÇARPILIR

  • _______

√H – 2√K=√N-√Ş DİR.

   _______

√H + 2√K=√N+√Ş DİR.

N>Ş, H=N+Ş, K=N .Ş OLMAK ÜZERE

AYNI KÖK DERECESİNE SAHİP VE İKİNCİ KÖKLÜ İFADESİ 2 KATSAYLI OLAN İFADELERİN TOPLAMI BİRİNCİ KÖKÜ ALINAN SAYIYI, ÇARPIMI İKİNCİ KÖKLÜ İFADEYİ VEREN İKİ SAYININ AYRI AYRI KÖK ALTINDA AYNI İŞARET İLE YAZIMI BİRİNCİ İFADEYE EŞİTTİR.

  • ______________

    /      _________

   /       /         ______

  /     /       /      __

√H -√ H – √ H – √ H ….=Ş      DİR.

      _______________

    /      _________

   /        /        ______

  /      /      /       __

√ H+√ H +√ H + √ H ….=Ş+1   DİR.

Ş BİR TAM SAYI VE H=Ş.(Ş+1) OLMAK ÜZERE.

AYNI KÖK DERECESİ VE AYNI KÖKÜ ALINAN SAYISI (H)BULUNAN İÇ İÇE KÖKLÜ İFADELERİN ÇIKARILMASINDA KÖK İÇİNDEKİ SAYININ İLK ÇARPANINI(Ş), TOPLANMASINDA İSE ÇARPANIN BİR İLE TOPLANMASINA(Ş+1) EŞİTTİR.

  • ______________

    /      _________

   /       /         ______

ª/    ª/     ª/                    __

√H  √ H   √ H   ……..=ª­¹√ H      DİR.

AYNI KÖK DERECESİ(ª) VE AYNI KÖKÜ ALINAN SAYISI (H)BULUNAN İÇ İÇE KÖKLÜ İFADELERİN ÇARPILMASINDA, KÖK DERECESİNİN BİR EKSİĞİ(ª­¹) KÖK DERECESİ OLARAK YAZILIR VE KÖKLÜ İFADE AYNEN YAZILIR.

  • ______________

    /      _________

   /       /         ______

ª/    ª/     ª/                   __

√H :√ H : √ H   ……..=ª†¹√ H      DİR.

AYNI KÖK DERECESİ(ª) VE AYNI KÖKÜ ALINAN SAYISI (H)BULUNAN İÇ İÇE KÖKLÜ İFADELERİN BÖLÜNMESİNDE, KÖK DERECESİNİN BİR FAZLASI(ª†¹) KÖK DERECESİ OLARAK YAZILIR VE KÖKLÜ İFADE AYNEN YAZILIR.

KÖKLÜ İFADELERİN SIRALANMASI

KÖK DERECELERİ EŞİT OLMAYAN KÖKLÜ SAYILARIN ÖNCE KÖK DERECELERİ EŞİTLENİR. KÖK DERECELERİ EŞİT OLAN KÖKLÜ SAYILARDAN KÖKÜ ALINAN SAYI BÜYÜK OLAN SAYI BÜYÜK, KÜÇÜK OLAN KÜÇÜKTÜR

ª√H, *√K, ⁿ√N    ª * ⁿ EŞİT OLMADIĞINDAN SIRALANAMAZ.

H>K>N>Ş>R  İSE  √H>√K>√N>√Ş>√R

H<K<N<Ş<R  İSE  √H<√K<√N<√Ş<√R

OLUR .(KÖK DERECELERİ EŞİT (2) OLDUĞU İÇİN SIRALAMA YAPILIR)

ORAN-ORANTI KONUSU

ORAN KONUSU                                   _H_

H  İFADESİNİ  Ş  İFADESİNE ORANI   Ş   DİR.

BİRBİRİNDEN FARKLI (KM,KG)İFADELER ORANLANAMAZ. ORAN BİRBİRİNİN AYNI(KM,KM) (BİRİM) OLAN İFADELERİN BİRBİRİNE BÖLÜNMESİYLE BULUNAN İFADEDİR.

ORANTI KONUSU

   H            N 

——-  =  ———  BİR ORANTIDIR.

   Ş            R

BU ORANTI H : Ş = N : R ŞEKLİNDE DE YAZILABİLİR.

H : Ş = N : R İSE  Ş, K  İÇLER H, R DIŞLARDIR.

   H            N 

——-  =  ——— = K İSE K ORANTI SABİTİDİR.

   Ş            R

ORANTI KONUSU İLE İLGİLİ ŞU KURALLARI YAZABİLİRİZ.

   H            K 

——-  =  ——— = H . R = Ş . N  DIR.

   Ş            R

 

ORANTIDA DIŞLAR ÇARPIMI İLE İÇLER ÇARPIMI BİRBİRİNE EŞİTTİR.

  • H    N                 R            Ş

——-  =  ———  İSE ——-  =  ———  OLABİLİR.

   Ş            R                 N             H

ORANTIDA İÇLER(N,Ş) VEYA DIŞLAR(H,R) KENDİ ARALARINDA YER DEĞİŞTİREBİLİR.

  • H     N                     Y.H+Z .N

   ——-  =  ——— =K İSE —————=K  OLABİLİR.

     Ş            R                      Y.Ş+Z .R

Y, Z SIFIRDAN FARKLI BİR RAKAM OLMAK ÜZERE

ORANTIDA HER İKİ ORANLAR AYRI AYRI, AYNI SAYI İLE ÇARPILABİLİR.

  • H     N                     H . N

   ——-  =  ——— = K İSE ——– = K²   DİR.

     Ş            R                     Ş . R

BİR ORANTIDA ORANLARIN ÇARPIMI ORANTI SABİTİNİN KARESİNE EŞİTTİR.

  • H     N         Y

   ——-  =  —— =  —– = K   İSE

     Ş            R         Z       

H = K . Ş,     N = K . R,     Y = K . Z OLUR.

ORANTI TÜRLERİ

DOĞRU ORANTI

BİRİNİN DEĞERİ ARTARKEN, DİĞERİNİN DEĞERİDE ARTIYOR, BİRİNİN DEĞERİ AZALIRKEN DİĞERİNİN DEĞERİDE AZALIYORSA BÖYLE İFADELER DOĞRU ORANTILIDIR.

H  İFADESİ  Ş  İFADESİ İLE DOĞRU ORANTILI İSE

                                    H

H = K . Ş DİR VEYA  —— = K    OLUR.

                                    Ş

TERS ORANTI

BİRİNİN DEĞERİ ARTARKEN, DİĞERİNİN DEĞERİ AZALIYOR, BİRİNİN DEĞERİ AZALIRKEN DİĞERİNİN DEĞERİ ARTIYORSA BÖYLE İFADELER TERS ORANTILIDIR.

H  İFADESİ  Ş  İFADESİ İLE TERS ORANTILI İSE

                                            K

H . Ş = K  DİR VEYA   H = ——   OLUR.

                                            Ş

BİRLEŞİK ORANTI

İKİ VEYA DAHA FAZLA ORANTI BİRLİKTE KULLANILAN İFADELERDE OLABİLİR BUNLARA BİRLEŞİK ORANTI ADI VERİLİR.

H, Ş İLE DOĞRU N İLE TERS ORANTILI İSE

H.N

—— =K  DİR.

  Ş

ORTALAMALAR KONUSU

ARİTMATİK ORTALAMA

BİR SAYI TOPLULUĞUNDA SAYILARIN TOPLAMININ, SAYI ADEDİNE BÖLÜNMESİDİR.

H, K, N, Ş, R     İSE

                                                      H, K, N, Ş, R

ARİTMATİK ORTALAMA=——————-   DİR.

                                                                   5

GEOMETRİK ORTALAMA

Y TANE SAYI TOPLULUĞUNDA SAYILARIN ÇARPIMININ, Y  DERECESİNDEN KÖKÜNE  DENİR.

H, K, N, Ş, R      İSE

                                                   ___________ GEOMETRİK ORTALAMA =⁵√ H. K. N. Ş. R

HARMONİK ORTALAMA

Y TANE SAYI TOPLULUĞUNDA SAYI ADEDİ PAYA , HER BİR SAYININ 1 İLE BÖLÜMÜNÜN TOPLAMI İSE PAYDA YAZILARAK YAPILAN BÖLME İŞLEMİNE  DENİR.

H, K, N, Ş, R      İSE

                                                        4

 HARMONİK ORTALAMA = ————————         

                                    1   1     1    1   

                                  —+—+—+—+

                                             H    K      N     Ş 

DİR VEYA                                     4HKNŞ

HARMONİK ORTALAMA=—————————–

                                                   H+K+N+Ş

DİR.

SAYI PROBLEMLERİ

SAYI PROBLEMLERİNİ ÇÖZERKEN ŞUNLARA DİKKAT ETMELİYİZ.

BURADA BİLİNMEYENİMİZ H OLSUN.

BİR SAYININ 8 FAZLASI = H + 4

BİR SAYININ 8 EKSİĞİ    = H – 4

BİR SAYININ 8 KATI        = 8H

BİR SAYININ 4 KATININ 3 FAZLASI =4H + 3

BİR SAYININ 4 FAZLASININ 3 KATI =3(H+4)

BİR SAYININ 4 EKSİĞİNİN 3 KATI    =3(H-4)

                       3                                       3H    

BİR SAYININ —- İNİN 7 FAZLASI      = —– + 7

                       5                                        5

PROBLEMİ OKUYORUZ VE OKUDUĞUMUZ İFADELERİ, CÜMLELERİ SAYISAL VERİLERE ÇEVİRİYORUZ.

KESİR PROBLEMLERİ

KESİR PROBLEMLERİNİ ÇÖZERKEN ŞUNLARA DİKKAT ETMELİYİZ.

BURADA BİLİNMEYENİMİZ Ş OLSUN.

                                       Ş

BİR SAYININ YARISI = —-  

                                       2

                        2               2Ş

BİR SAYININ——-  ‘ İ   = —-  

                        5                 5

                                                               Ş+5

BİR SAYININ 5 FAZLASININ YARIS   =——

                                                                  2

                                                                  2

BİR SAYININ 5 KATININ 3 FAZLASININ —- ‘ Ü

                 2                                               3

= (5Ş+3).——-

                 3

BİR SAYININ YARISI İLE 3 KATININ TOPLAMI

   Ş

 —— + 3Ş       

   2

 

       3

BİR SAYININ 7 KATI İLE —— ‘ Ü ARASINDAKİ FARK

           3Ş                            4

= 7Ş – —–   DİR

             4

YAŞ PROBLEMLERİ

YAŞ PROBLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜNDE ŞUNLARI YAZABİLİRİZ.  

ASLANIN YAŞI   H,  KAPLANIN YAŞI   Ş    İSE ;

                                                    ASLAN   │     KAPLAN

ŞİMDİKİ YAŞLARI                            H       │         Ş

7 YIL SONRAKİ YAŞLARI              H+7     │         Ş+7

7 YIL ÖNCEKİ YAŞLARI                 H-7     │        Ş-7  

R YIL SONRAKİ YAŞLARI              H+R    │          Ş+R

K   TANE KİŞİNİN YAŞLARI TOPLAMI   N   İSE ;

3 YILSONRAKİ YAŞLARI TOPLAMI         N+3K

( HER KİŞİ İÇİN 3YIL ARTACAĞINDAN K KİŞİ 3K ARTAR )

3 YIL ÖNCEKİ YAŞLARI TOPLAMI          N – 3K

( HER KİŞİ İÇİN 3YIL AZALACAĞINDAN K KİŞİ 3K AZALIR )

YAŞLAR ARASINDAKİ FARK  DEĞİŞMEZ H>Ş İSE

ŞİMDİKİ YAŞLARI ARASINDAKİ FARK                H – Ş

R YIL SONRAKİ YAŞLARI ARASINDAKİ FARK    H – Ş

YÜZDE PROBLEMLERİ

YÜZDE PROBLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜNDE ŞUNLARI YAZABİLİRİZ.                H

Ş SAYISININ %H ‘ Sİ  ——-  İLE  O SAYIYI ( Ş )  

                                      100              H 

ÇARPARAK BULUNUR . YANİ  Ş. —— = %… DİR.     

                                                         100

ONDALIK SAYILAR YÜZDE OLARAK YAZILIRKEN, VİRGÜL İKİ BASAMAK SAĞA KAYDIRILIR.

              12                                     56,78

0,12 = ——– = %12,       0,5678=———- =%56,78

              100                                     100

 

RASYONEL SAYILAR YÜZDE OLARAK YAZILIRKEN,

PAYDA 100 YAPILIR (GENİŞLETME, SADELEŞTİRME)

ALIŞ VERİŞ PROBLEMLERİNİ ÇÖZÜMÜ İÇİN ŞUNLARI YAZABİLİRİZ.

ALIŞ FİYATIMIZ=          H

SATIŞ FİYATIMIZ=        K

ZARARIMIZ=                 N

KÂRIMIZ=                      Ş

K=H+Ş                           = KARLI SATIŞIMIZ

            Hw

K=H+ ——–                   = %w KARLI SATIŞIMIZ

            100

K=H – N                         = ZARARIMIZ.

            Hw

K=H – ——-                    =%w ZARARLI SATIŞIMIZ.

            100

KÂR     = ALIŞ FİYATI . KAR YÜZDESİ

ZARAR= ALIŞ FİYATI . ZARAR YÜZDESİ        DİR.

FAİZ PROBLEMLERİ

YÜZDE PROBLEMLERİ

YÜZDE PROBLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜNDE ŞUNLARI YAZABİLİRİZ.

SERMAYE, KAPİTAL, ANAPARA =        R

ZAMAN                                         =         Ş

FAİZİN ORANI VEYA YÜZDESİ   =         N

FAİZ                                              =         K

OLSUN ;

                             R . N . Ş

GÜNLÜK FAİZ =————–

                               3600

 

                             R . N . Ş

AYLIK FAİZ      =————–

                               1200

 

                             R . N . Ş

YILLIK FAİZ     =————–     DİR.

                               100

KARIŞIM PROBLEMLERİ

FAİZ PROBLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜNDE

ŞUNU YAZABİLİRİZ.

                                      SAF MADDE

KARIŞIMIN YÜZDESİ=——————— . 100

                                       TÜM KARIŞIM

 

İŞ PROBLEMLERİ

İŞ PROBLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜNDE ŞUNLARI YAZABİLİRİZ       

                           ÇALIŞILAN SÜRE

BİTİRİLEN İŞ = ——————————–

                          ÇALIŞILAN TÜM SÜRE

ASLAN BİR İŞİN TAMAMINI  H  GÜNDE YAPABİLİYORSA, ASLAN BİR GÜNDE İŞİN

 1

—-    SİNİ YAPAR.

 H

KAPLAN BİR İŞİN TAMAMINI  Ş  GÜNDE YAPABİLİYORSA, KAPLAN BİR GÜNDE İŞİN

 1

—-    SİNİ YAPAR.

 Ş

ASLAN VE KAPLAN BİRLİKTE İŞİN TAMAMINI R  GÜNDE YAPIYORLARSA.

   R        R

——+——– = 1   DİR.  

   H        Ş

ASLAN   K  GÜN  KAPLAN  N  GÜN ÇALIŞIP 

                 W

BİR İŞİN —— ‘ SUNU YAPIYORLARSA     

                 Q

   K         N       W

—— + ——- = —–   DİR.

  H          Ş       Q

                               1

ASLAN BİR İŞİN ——‘ SİNİ   H  GÜNDE

                               2                                     2

YAPABİLİYORSA, İŞİN TAMAMAMINI H. ——-

                                                                      1

= 2H GÜNDE YAPABİLİR.

                                  2

KAPLAN BİR İŞİN ——–‘ÜNÜ  Ş  GÜNDE  

                                  3                   3        3Ş

YAPABİLİYORSA TAMAMINI, Ş .  —— = ——- GÜNDE

                                                        2         2

YAPAR.

HAVUZ PROBLEMLERİ

İŞÇİ PROBLEMLERİNE BENZER YOLLARLA ÇÖZEBİLMEKLE BİRLİKTE AŞAĞIDAKİ HUSUSLARIDA SÖYLEYEBİLİRİZ.                           1

I.MUSLUK HAVUZU TEK BAŞINA   H   SAATTE =——-

                                                                             1     H

II.MUSLUK HAVUZU TEK BAŞINA  Ş  SAATTE = —

                                                                              Ş 

İKİ MUSLUK(I., II.) HAVUZU   R  SAATTE DOLDURSA;

        1       1                           1         1        1  

R . (—–+—– ) = 1  VEYA   ——-+——=——– ‘ DİR.

         H      Ş                           H        Ş       R

I.MUSLUK HAVUZU TEK BAŞINA   H   SAATTE

                            1

DOLDURUP   =——-  ,   II.MUSLUK HAVUZU TEK

                            H                                     1

BAŞINA  Ş  SAATTE BOŞALTIYORSA = ——    VE

                                                                     Ş 

İKİ MUSLUK(I., II.) HAVUZU   R  SAATTE DOLDURSA;

        1       1                           1         1        1  

R . (—– - —- ) = 1  VEYA   —— –  —– = ——– ‘ DİR.

         H      Ş                           H        Ş       R

HAREKET PROBLEMLERİ

HAREKET PROBLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜNDE ŞUNLARI YAZABİLİRİZ

BU PROBLEMLERİN ÇÖZÜMÜNDE ALINAN YOL VE FARKLI HIZLAR GÖZ ÖNÜNE ALINIR.

YOL =H,  HIZ=Ş,  ZAMAN=R  OLSUN.

YOL = HIZ . ZAMAN  İSE  H = Ş . R   OLUR.

N  VE  K NOKTALARINDAN  BİRBİRİNE DOĞRU  Ş1 VE   Ş2   HIZLARIYLA HAREKET EDEN İKİ ARACIN KARŞILAŞMA ZAMANI   R   İSE ARALARINDAKİ UZAKLIK

                  │NK│=(Ş1+Ş2).R    DİR.

             N —————————————– K

             Ş1———–>               <——–Ş2                                                       

 

N  VE  K NOKTALARINDAN  AYNI YÖNDE  Ş1 VE   Ş2   HIZLARIYLA HAREKET EDEN İKİ ARAÇTAN HIZLI ARAÇ YAVAŞ ARACI YAKALAMA ZAMANI R  İSE ARALARINDAKİ UZAKLIK  ( Ş1 > Ş2 ).

                  │NK│=(Ş1- Ş2).R    DİR.

             N ———————–K——————W

             Ş1——>             Ş2—->

 

N  VE  K NOKTALARINDAN  AYNI YÖNDE  Ş1 VE   Ş2   HIZLARIYLA HAREKET EDEN İKİ ARAÇTAN HIZLI ARAÇ YAVAŞ ARACI YAKALAMA ZAMANI R  İSE ARALARINDAKİ UZAKLIK  ( Ş1 > Ş2 ).

                  │NK│=(Ş1- Ş2).R    DİR.

 

DAİRE ŞEKLİNDE YOL ÜZERİNDEKİ  N  NOKTASINDAN FARKLI YÖNDE  Ş1 VE   Ş2   HIZLARIYLA HAREKET EDEN İKİ ARAÇ   R   SAAT SONRA KARŞILAŞIYORLARSA DAİRE YOLUN ÇEVRESİNİ ŞÖYLE BULURUZ. 

P5141172

DAİRE YOLUN ÇEVRESİ=(Ş1+ Ş2).R  DİR.

DAİRE ŞEKLİNDE YOL ÜZERİNDEKİ  N  NOKTASINDAN AYNI YÖNDE  Ş1 VE   Ş2   HIZLARIYLA HAREKET EDEN İKİ ARAÇ   R   SAAT SONRA KARŞILAŞIYORLARSA DAİRE YOLUN ÇEVRESİNİ ŞÖYLE BULURUZ.      ‘’   Ş1>Ş2  ‘’

P5141171

DAİRE YOLUN ÇEVRESİ=(Ş1- Ş2).R  DİR.

KÜME- KÜMELER KONUSU.

H  BİR KÜME,  n  KÜME SAYISI OLSUN.

KÜME TANIMLANMIŞ NESNELERDEN OLUŞUR. KÜMEDE BULUNAN NESNELER KÜMENİN ELEMANLARIDIR. S(H) ŞEKLİNDE GÖSTERİLİR. KÜMENİN KENDİ ELEMANLARIN DAN OLUŞAN KÜMELERE ALT KÜMELER DENİR. BİR KÜMENİN ALT KÜME SAYISI  2ⁿ İFADESİ İLE BULUNUR. BOŞ KÜME ELEMANI OLMAYAN KÜMEDİR VE  Ф,{} İFADELERİ İLE GÖSTERİLİR,HER KÜMENİN ALT KÜMESİDİR. ÖZALT KÜME KÜMENİN KENDİSİ HARİÇ OLAN ALT KÜMELERİNDEN OLUŞUR VE 2ⁿ – 1 İFADESİ İLE BULUNUR.

P5141170

G KÜMESİ İÇERİSİNDE BULUNAN H VE Ş KÜMELERİ İLE r  ELEMANININ DURUMLARI İLE İLGİLİ ŞU İFADELER PROBLEM ÇÖZÜMÜNDE FAYDALI OLACAKTIR.

Ç KESİŞİM İŞARETİ ,  È BİRLEŞİM İŞARETİ

w, q, j NİN BULUNDUĞU YERLER ;

w=H-Ş(H FARK Ş) SADECE  H KÜMESİNİ

J= Ş-H(Ş FARK H) SADECE  Ş KÜMESİNİ

 

q=KESİŞİM(Ç)  A VE B

w,q,j=BİRLEŞİM(È) A VEYA B   Yİ İFADE EDER.

G KÜMESİNİN ELEMAN SAYISI  S(G) = S(H)ÈS(Ş)È r,   H KÜMESİNİN ELEMAN SAYISI   S(H)=w + q,

Ş KÜMESİNİN ELEMAN SAYISI   S(Ş)=q + j,

G VEYA Ş KÜMESİNİN ELEMAN SAYISI S(HÈŞ)=w+q+j

G VE Ş KÜMESİNİN ELEMAN SAYISI  S(HÇŞ)=q

SADECE H KÜMESİNİN ELEMAN SAYISI

S(H-Ş)=w

SADECE Ş KÜMESİNİN ELEMAN SAYISI

S(Ş-H)=J     DİR.

ŞEMAMIZA YENİ BİR İFADE YÜKLEYECEK OLURSAK

w= H  OYUNUNU BİLENLERİN SAYISI

j= Ş  OYUNUNU BİLENLERİN SAYISI

q= H ve Ş OYUNUNU BİLENLERİN SAYISI

r= H ve Ş OYUNLARINI BİLMEYENLERİN SAYISI İSE

SADECE BİR OYUN BİLENLERİN SAYISI = w+j

EN AZ BİR OYUN BİLENLERİN SAYISI =w+q+j

EN ÇOK BİR OYUN BİLENLERİN SAYISI= w+j+r  DİR.

İŞLEM KONUSU

BOŞ OLMAYAN H VE Ş KÜMELERİ VE HÌŞ İSE

H İŞLEM H KÜMESİNDEN Ş KÜMESİNE TANIMLI  FONKSİYONLARA H DE TANIMLI İŞLEM DİYEBİLİRİZ.

İŞLEMLERİ O, ÿ, D, *, ·, +, VS. SİMGELER İLE GÖSTEREBİLİRİZ.

HÿŞ = H – Ş İSE VE 3ÿ4 SORULUYORSA

3ÿ4= 3-4 =-1 DİR.  VS. ÖRNEKLER ÇOĞALTILABİLR.

İŞLEM KONUSUNDA ETKİSİZ YADA BİRİM ELEMAN e İLE GÖSTERİLİR VE D İŞLEMİNDE HER V SAYSI İÇİN V D e = e D V = V OLMALIDIR.

BİR ELEMANIN TERSİ İSE x-¹  İLE GÖSTERİLİR.

BİR ELEMANIN TERSİ VE KENDİSİ İLE TERSİ ETKİSİZ ELEMANA EŞİTTİR. YANİ XDx-¹= x-¹DX=e DİR.

MODÜLER ARİTMATİK KONUSU

H,   Ş  TAM SAYI  VE   R >1   İSE

H’ NİN R’ YE BÖLÜMÜNDEN KALAN  N   VE  Ş’NİN R’ YE BÖLÜMÜNDEN KALANDA  N  İSE  VEYA  H – Ş  İŞLEMİNDEN ÇIKAN SONUÇ R’ YE TAM BÖLÜNÜYORSA  H º Ş (mod R) ‘  DİR DENİR.

PERMÜTASYON

FARKLI BİR ŞEKİLDE OLUŞAN   H  TANE İŞTEN  I.’Sİ K1, II.’Sİ K2, III.’SÜ K3 ……VE H.’Sİ KH FARKLI ŞEKİLDE GERÇEKLEŞİYORSA.

ÇARPMA KURALI İLE; BU İŞLERİN TAMAMI FARKLI YOLDAN GERÇEKLEŞİYORSA K1 . K2 . K3 …… KH  YOLDAN GERÇEKLEŞİR.

TOPLAMA KURALI İLE; BU İŞLERDEN BİRİ FARKLI YOLDAN GERÇEKLEŞİYORSA K1 + K2 + K3 + ……+KH  YOLDAN GERÇEKLEŞİR.

H TANE ELEMANDAN Ş TANESİNİN SIRALANIŞI H NİN Ş Lİ SIRALAMASI PERMÜTASYONUDUR VE

H!

P(H, Ş)=———–  FORMÜLÜ İLE İFADE EDİLİR.

(H-Ş)!

 

 

DAİRESEL (DÖNEL) PERMÜTASYON

H TANE ELEMANIN DÖNEL SIRALANIŞI (H-1)! FARKLI SIRA İLE OLUR.

MASKOTSUZ BİR ANAHTARLIĞA H TANE FARKLI ANAHTAR (H-1)! FARKLI OLUR.

2

TEKRARLI PERMÜTASYON

K  TANE ELEMANIN K1 TANESİ BİR TÜR K2 TANESİ İKİNCİ TÜR K3  TANESİ ÜÇÜNCÜ TÜR VE KH  TANESİ H  TÜRÜNDEN İSE BU  K  TANE ELEMANIN YANYANA SIRALANMA SAYISI;

_          K!            _        İLE BULUNUR.

K1! . K2! .K3!……KH

KOMBİNASYON

H BÜYÜK EŞİT Ş OLMAK ÜZERE H ELEMANLI BİR KÜMENİN Ş ELEMANLI ALT KÜMELERİNİN HER BİRİNE H NİN R Lİ KOMBİNASYONU  DENİR C(H, Ş) VEYA æHö ŞEKLİNDE YAZILIR

èŞø

æHö            H!

C(H, Ş)VEYA èŞ ø =———————

(H-Ş)! . Ş!

KOMBİNASYONUN BAZI KURALARI ŞÖYLEDİR.

C(H, 0)=1,   C(H, 1)=H, C(H, H)=1

C(H, Ş)=C(H, K)İSE H= Ş+K’ DIR.

OLASILIK

OLASILIK BİR DURUMUN GERÇEKLEŞME İHTİMALİDİR.

BEKLENEN RREKANS BİR DURUMDA BELLİ ŞARTI GERÇEKLEŞTİREN GÖZLEMLERİN SAYISIDIR.

TOPLAM FREKANS BİR DURUMDA  GERÇEKLEŞEBİLECEK BÜTÜN GÖZLEMLER ‘İN SAYISIDIR.

                               BEKLENEN FREKANS

OLASILIK=———————————      ‘ DİR.

                                 TOPLAM FREKANS

P(H)  H OLAYININ GERÇEKLEŞME OLASILIĞI İSE P(H¢) H OLAYININ GERÇEKLEŞMEME OLASILIĞIDIR.VE 0£P(H)£1 OLMAK ÜZERE  P(H)+P(H¢)=1 DİR.

GERÇEKLEŞMESİ AYNI DURUMDA AYNI ZAMANDA AYNI ANDA  OLMAYAN OLASILIKLAR TOPLANIR BU DURUM PROBLEMLERDE ‘’VEYA’’ BAĞLACI İLE BİRBİRİNE BAĞLANIR.

GERÇEKLEŞMESİ AYNI DURUMDA AYNI ZAMANDA VE PEŞİ PEŞİNE  OLAN  OLASILIKLAR ÇARPILIR BU DURUM PROBLEMLERDE ‘’VE’’ BAĞLACI İLE BİRBİRİNE BAĞLANIR

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Leave a Comment

E-posta hesabınız yayınlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Şu HTML etiketlerini ve özelliklerini kullanabilirsiniz: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>